Ta có \({4^2} + {6^2} - 2.4 - 4.6 - 20 = 0\), nên điểm A thuộc (C)

Đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\) có tâm \(I(1;2)\)

Phương trình tiếp tuyến d của (C) tại \(A(4;6)\) là:

\(\begin{array}{l}\left( {4 - 1} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {6 - 2} \right)\left( {y - 6} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3x + 4y + 16 = 0\end{array}\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 1;2} \right)\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0;2} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IM}  = \left( {1;0} \right)\) làm vecto pháp tuyến có phương trình là \(x = 0\).

(C): x^2-2x+1+y^2+4y+4=9

=>(x-1)^2+(y+2)^2=9

=>I(1;-2); R=3

Khi x=1 và y=5 thì (1-1)^2+(5+2)^2=49<>9

=>A nằm ngoài (C)

Gọi (d): y=ax+b là phương trình tiếp tuyến tại A của (C)

Thay x=1 và y=5 vào (d), ta được:

a+b=5

=>b=5-a

=>y=ax+5-a

=>ax-y-a+5=0

Theo đề, ta có: d(I;(d))=3

=>\(\dfrac{\left|1\cdot a+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)-a+5\right|}{\sqrt{a^2+1}}=3\)

=>9a^2+9=(a+2-a+5)^2

=>9a^2+9=49

=>9a^2=40

=>a^2=40/9

=>\(a=\pm\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\)

=>\(b=5\mp\dfrac{2\sqrt{10}}{3}\)

a) Ta có \(I\left( {2; - 3} \right)\) và \(R = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 12} \right)}  = 5\)

b) Ta có: \({5^2} + {1^2} - 4.5 + 6.1 - 12 = 0\). Suy ra M thuộc \(\left( C \right)\). Tiếp tuyến d của (C) tại M có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {IM}  = \left( {3;4} \right)\), đồng thời d đi qua điểm \(M\left( {5;1} \right)\).

Vậy phương trình  của d là  \(3\left( {x - 5} \right) + 4\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0\).

Pt (C) : (x - 1)² + (y - 2)² = 8 

Vậy đường tròn có tâm I (1 ; 2) và bán kính bằng \(2\sqrt{2}\)

Tiếp tuyến tại M(3;4) có vecto pháp tuyến là \(\overrightarrow{IM}=\left(2;2\right)\)

hay \(\overrightarrow{n}=\left(1;1\right)\) có phương trình là 

x - 3 + y - 4 = 0 hay x + y - 7 = 0

a) Để tìm phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) đi qua điểm A(5,7), ta sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến tâm đường tròn:

$I\hat{A} = \sqrt{(x_A - x_I)^2 + (y_A - y_I)^2}$

Với I là tâm đường tròn, A là điểm trên đường tròn.

Ta có: $x_I = 2$, $y_I = 3$, $x_A = 5$, $y_A = 7$

Thay vào công thức ta được:

$\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{34}$

Vậy bán kính của đường tròn là $\sqrt{34}$.

Phương trình đường tròn © có tâm I(2,3) và bán kính $\sqrt{34}$ là:

$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 34$

b) Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường tròn © : $(x-1)^2 + ( y+5)^2 =4$, ta cần tìm đạo hàm của phương trình đường tròn tại điểm cần tìm tiếp tuyến.

Ta có phương trình đường tròn chính giữa:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Tại điểm M(x,y) trên đường tròn, ta có:

$(x-1)^2 + (y+5)^2 = 2^2$

Đạo hàm hai vế theo x:

$2(x-1) + 2(y+5)y' = 0$

Suy ra:

$y' = -\frac{x-1}{y+5}$

Vậy tại điểm M(x,y), phương trình tiếp tuyến của đường tròn là:

$y - y_M = y'(x-x_M)$

Thay $y'$ bằng $\frac{-(x-1)}{y+5}$ và $x_M$, $y_M$ bằng 1, -5 ta được:

$y + 5 = \frac{-(x-1)}{y+5}(x-1)$

Simplifying:

$x(y+5) + y(x-1) = 6$

Đường thẳng (d) có phương trình là $3x + 4y - 1 = 0$. Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) nên hệ số góc của tiếp tuyến

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm \(N\left( {1;0} \right)\) nhận \(\overrightarrow {IN}  = \left( {0;2} \right)\) làm vecto pháp tuyến là \(y = 0\).

Gọi \(M\left(2;y_M\right)\) là tiếp điểm của (C):

\(\Leftrightarrow2^2+y_M^2-12+2y_M=0\)

\(\Leftrightarrow y_M^2+2y_M-8=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y_M=2\\y_M=-4\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}M\left(2;2\right)\\M\left(2;-4\right)\end{matrix}\right.\)

* Với M(2;2)

Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(3;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(D\right):3x+y-8=0\)

* Với M(2; -4)

Ta có: \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{IE}=\left(-1;-3\right)\Rightarrow\overrightarrow{n}=\left(-3;1\right)\)

\(\Rightarrow\left(D\right):-3x+y+4=0\)